Pengantar Aljabar Linear: Mendefinisikan Transformasi Linier

Linearitas adalah struktur kerangka ruang vektor. Sebuah transformasi linier bukan hanya sebuah fungsi; melainkan pemetaan $T$ antara ruang vektor yang menghargai operasi dasar penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Bayangkan sebagai "blueprint struktural"—jika Anda tahu bagaimana transformasi memengaruhi himpunan vektor dasar, maka Anda tahu bagaimana transformasi tersebut memengaruhi seluruh alam semesta vektor-vektor tersebut.

Dua Pilar Linearitas

Agar suatu transformasi $T$ dianggap linier, ia harus memenuhi dua syarat aljabar ketat untuk semua vektor $v, w$ dan semua skalar $c$:

Aditivitas: $T(v + w) = T(v) + T(w)$. Transformasi dari jumlah adalah jumlah dari transformasi-transformasinya.
Homogenitas: $T(cv) = cT(v)$. Mengubah ukuran masukan mengubah ukuran keluaran dengan faktor yang persis sama.

Prinsip Superposisi

Menggabungkan aturan-aturan ini memberi kita identitas paling kuat dalam aljabar linear:

$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$

Ini berarti bahwa transformasi linier $T$ bertindak pada kombinasi linier vektor dengan menyebarkan ke jumlah dan menarik keluar skalar-skalar.

Kendala Vektor Nol

Uji "kertas lakmus" kritis untuk linearitas adalah Uji Asal. Jika suatu transformasi bersifat linier, maka harus memetakan vektor nol ke vektor nol:

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

Jika suatu pemetaan bergeser dari titik asal (misalnya, $T(v) = v + b$), maka merupakan afin transformasi, bukan transformasi linier. Dalam geometri bidang, transformasi linier menjaga pusat tetap; mereka tidak pernah "menggeser" ruang.

Mengenali Non-Linearitas

Linearitas sangat rapuh. Jika aturan yang mengatur $T$ melibatkan salah satu hal berikut, maka ia adalah tidak linier:

Pangkat dua atau lebih tinggi (misalnya, $v_1^2$)
Hasil kali komponen (misalnya, $v_1 v_2$)
Nilai absolut atau norma (misalnya, $||v||$)
Offset konstan (misalnya, $v_1 + 1$)

🎯 Prinsip Utama: Perbandingan Contoh

Pertimbangkan vektor tetap $a = (1, 3, 4)$. Operasi hasil kali titik $T(v) = a \cdot v$ bersifat linier karena mendistribusikan terhadap penjumlahan. Namun, operasi norma $T(v) = ||v||$ tidak bersifat linier; ia gagal pada ketidaksamaan segitiga ($||v+w|| \leq ||v||+||w||$ bukan kesamaan) dan gagal untuk skalar negatif ($||-v|| = ||v|| \neq -||v||$).

PERTANYAAN 1

Manakah dari transformasi berikut dari $\mathbb{R}^2$ ke $\mathbb{R}$ yang TIDAK linier?

$T(v) = (v_2, v_1)$

$T(v) = v_1 v_2$

$T(v) = v_1 - v_2$

$T(v) = (0, v_1)$

PERTANYAAN 2

Misalkan $T$ adalah refleksi terhadap sumbu $x$ dan $S$ adalah refleksi terhadap sumbu $y$ di bidang $xy$. Jika $v = (x, y)$, apa hasil dari transformasi produk $S(T(v))$?

$(x, y)$ (Identitas)

$(-x, y)$ (Refleksi Y)

$(-x, -y)$ (Refleksi melalui titik asal)

$(y, x)$ (Refleksi melalui $y=x$)

PERTANYAAN 3

Jika $u = [1, 0]^T$ dan $v = [0, 1]^T$, dan kita tahu $Au$ dan $Av$ adalah kolom-kolom matriks $A$. Untuk $w = [5, 7]^T$, bagaimana $Aw$ terhubung dengan kolom-kolom $A$?

$Aw = 5Au + 7Av$

$Aw = Au + Av$

$Aw = 7Au + 5Av$

$Aw = [5, 7]^T$

PERTANYAAN 4

Transformasi $T(M) = AM$ di mana $A$ adalah matriks $2 \times 2$ tetap dan $M$ adalah matriks $2 \times 2$ apa pun bersifat linier. Sifat matriks apa yang membuktikan hal ini?

Aturan determinan $|AM| = |A||M|$

Sifat distributif $A(B+C) = AB+AC$ dan asosiatif skalar $A(cM) = c(AM)$

Komutativitas $AM = MA$

Fakta bahwa $A$ dapat dibalik

PERTANYAAN 5

Jika ruang vektor terdiri dari polinomial dengan derajat 3 atau kurang, mengapa matriks $B^2$ (yang mewakili turunan keempat) sama dengan matriks nol?

Karena turunan dari nol adalah nol

Karena turunan keempat dari polinomial dengan derajat $\leq 3$ adalah nol

Karena vektor-vektor basis saling ortogonal

Karena $B$ adalah matriks diagonal